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＋
1
2
0 0 i
2
理只有在是复数三角式的情况下才能够用。
2、提高活用定理、公式、法则的能力。
例：求π 的最小值。误解：
∵ ≥ ∴ 的最小值为在这个解的过程中
f（x） =
2
sinx
f f（x） 2
？？？？？
×？？
sin
（ ）
（ ）
sin
sin
x
x
x
x
x
2
0
2
2
2
2
死套基本式，忽视了sinx 的范围为〔0，1〕，此时，不等式没有取得等号的
可能（答案为4）。
3、突破运算能力薄弱的环节。
例： 1989 年高考题， 已知a ＞ o 且α ≠1 试求使方程Loga（xak）
2=loga（x2…a2） 有解的K 的取值范围，考生列成混合组
（x ak） x a
x … ak 》 0
x a 0
（x ak） x a
x a 0
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
？？？？？
？？？
ì
í？？
？？？
？？？？？
？？？
ìí？？
？？
或
同样，由于计算能力不过关而半途而废。
例：1987 年高考题，对于所有x，不等式
x log （
4（a 1）
a
） 2xlog （
2a
a 1
） log
（a 1）
4a
2 0
2 2 2
2
2
？
？
？
？
？
？
恒成立，求α的取值范围。
在高考中，许多考生都归结为不等式组，
a
a 1
0
log
4（a 1）
a
0
（2log
2a
a 1
） 4log
4（a 1）
a
log
（a 1）
4a
0
2
2
2
2 2
？
？
？
？
？
？
？？？
？
ì
í
？？？
？
？？？
这个解题过程大繁，不是解不出来，就是中间某一步出现错误。其实，这个
题根本不需要这样解，只要对不等式变个形就会简单多了。
解：变形为：
即：
x
a
a
x
a
a
a
a
x x
a
a
2
2 2 2
2 2
2
8
1
2
2
1
2
2
1
2
0
3 1 1
1
2
0
＇log （ ）＇ log log
＇（ ） ＇ log
？
？
？
？
？
？
？？？？？
？
？
∵对于实数x 恒成立。
∴log → → → 所以的取值范围为
a 1
2a
0
a 1
a
1
a
a
0 0 a 1 a 2
？
？
？
？
？
？？？？？
（0、1），
因此，我们要重视基本功的训练，提高计算能力。
113．怎样才能提高自己的解题能力？
目前高考数学命题的指导思想是要既有利于选拔人材，又要有利于指导
中学教学。命题的原则是：考察基础知识，注重数学思想，培养实际能力，
这就要求在考前多培养解题能力。
1、要掌握数学方法，突出数学现实，优化数学模型。
例1：已知P＝｛（x； y）｝1（k 2 … 1） ＋ 2kx ＋ （k ＋1） 2 = 0，k ？R｝求P的图形。
由题中条件可知P 为直线（k2…1）y＋2kx＋（k…1）2＝0①上的点，若按R 取不
同的值来研究直线之外的点是不能奏效的，但要是把①视为k 的一元二次方
程，优化其数学模型，则求P的图形成为求①关于K无实根时X、y的范围。
解略。
例2：求证：对称轴互相垂直的二抛物线的四个交点共圆。
在处理曲线的交点时，基本方法是“设”和“解”。“设”而且“解”
最繁，“设而不解”或“解而不设”较简，“不设不解”最简，是繁是简取
决于数学模型，本题宜用其交点的曲线系方程f1＋=λf20 这个模型，可以不
设不解。
证明：抛物线y2±2px＋s=0①与抛物线
x2±2py＋t=0②的对称轴垂直。
①＋②得：
x2＋y2±2px±2py＋t=0 这正是圆的方程所以交点共圆。
2、培养发散性思维和逆向思维的能力。
例1：直线L 与抛物线y2=2px 和y2=2p（x…y）分别交于A1，B1 和A2、B2
（如下图），求证1A1A21=1B1B21，
要证明这个题，用发散性思维，至少有四种方案。
（1）用普通方程求交点、距离。
（2）用普通方程求中点，证与中点座标相同。
（3）用参数方程求交点，求距离。
（4）证明A1B1 与A2B2 的中点对应同一参数。
通过比较，第四种方案为映射观点，最为简捷。这样运用发散思维，就
可以缩短解题时间，能力也随之提高了。
作一番探索，就会发现：在特殊情况下，抛物线y2…2px 的弦AB 切抛物
线y2=2p（x…y）于点M，则1AMl＝1MB1。
在一般情况下，直接L 与抛物线和y2=2p（x…y1）和y2=2p（x…y2）分别交
于A1、B1 和A2、B2 则：A1A2｜=｜B1B2｜
这个结论如再推广可证出：
1 l
x
a
y
b
1
x
a
y
b
g A B
A B A A B B
2
2
2
2
2
2
2
2 1 1
2 2 1 2 1 2
（ ）直线与椭圆成双曲线和分别交于，
和， 则｜ ｜ ｜ ｜
±？？？±？？
？
（ ）直线与双曲线和它的渐近线分别交于，
及， 则｜ ｜ ｜ ｜
2 L
x
a
y
b
A B
A B A A B B
2
2
2
2 1 1
2 2 1 2 1 2
？？？？1
？
可见，多思考，是提高能力的有效途径。
114．复习与做题的关系怎么才能处理好呢？
数学复习离不开做题，但是不能互相代替。
复习包括知识和思想方法两个方面，既要做到拾遗而不漏，扫清障碍，
又要总结原理，形成系统；而做题的目的是要在应用中加深知识的理解，掌
握解题的方法，提高运用知识的能力，同时也是对复习情况的检查和评估。
在懂得了解题的目的之后，重要的是怎样去解题。在解题时，解题方法
是十分重要的。许多同学在复习中会感到，对某些题，教师一点就破，一讲
就懂，但不点就破不了。问题就在于把学的知识孤立对待，局限于某一个范
围内思考，而不会把知识“膨胀”（一题多想，一题多解）和“收缩”（三
角、代数、几何互相融合）。解题方法墨守常规，知识不能灵活运用，这都
是破不了题的因素。下面具体讲几种解题要注意的地方。
1、解题概念要清楚，对题中所给的条件要理解透彻。
例：设x1，x2 为方程4x2…4kx＋k=0 的二实根，当K 为何值时，x1
2＋x2
2 为
最小值并求其最小值。
解：∵
∴
∴ 当时取得
x x K x x K
x x x x x x k
y K
1 2 1 2
1
2
2
2
1 2
2
1 2
2
1
4
2
2
1
4
7
16
7
16
1
4
？？？？×？？？？
？？？？？？？？？？？？？
？？？？？
； （ ）
（ ） （ ）
； min ？
但是此结论却是错误的。只要追究一下4x2…4Kx＋K＋2=0 有实数根的条件
可知，K 的取值范围不是整个R，而是受原方程为实根的限制的。
即当△=（…4k）2…4？4（k＋2）≥时
∴得出的范围≤ 或≥ ； ＝ 不在范围内，故当＝ 时
＝ ；当＝ 时＝
K K …1 K 2 K …
1
4
K …1
y K 2 y 2
1
2
∴当K＝—1 时，
2、解题中要不受常规解题法的局限。
例：设a、b、c R 且a＋b＋c＝3，
1
a
1
b
1
c
？？？？？？？？？？3
求证：abc＝1
此题不按常规方法，由已知条件推导是十分复杂的，若按逻辑推理，转
化成证明不等式，从而得到证明，就简单多了。
证明：∵a、b、c∈R＋
而≥ 即≥
≥即即≤
只有
3 3 1 3
3
1 1 1
3
1
3
1
1
1
3 3
3
3
？？？？？
？？？？？
？
a b c abc abc
a b c abc cba
abc
即abc＝1
3、解题中要善于联想转化。
也就是说，把不熟悉的类型变成了熟悉的类型，通过联想，使题型由难
而易。
4、在复习中要注意系列相关题的训练。
系列题具有一定的梯度，知识覆盖面广，能溶人很多知识。相关题还具
有延伸性，能沟通知识的联系，是考察考生的创造性思维与应用能力的。这
些题目在历年高考试题中都是压阵题。同学们不要轻易放弃，思考得好，处
理得当是拿分题，即使突破一部分也是好的。
最后，要提醒同学们特别是一些数学思维能力较强的同学，在做题时一
定要写全解题步骤，跳步、省去该有的部分都会失分。某些考生的教训可谓
惨痛，答案一致，却因步骤不全失了很多分。希望大家千万注意，能拿的分
一定要拿到，拿不了的分，也不轻易失去。
115．用活教材的点点滴滴
考前如何对英语进行有条不紊的复习，在短时间内达到理想的效果，最
重要的是要以教材为中心，立足教材、活用教材，同学们可以从以下几个方
面着手。
1、查。首先对自己作一个全面的、实事求是的估计。从每个人的实际出
发，查自己知识的薄弱环节，查自己的哪些知识掌握的不过关，查漏洞，找
弱点，这样复习起来有针对性，有的放矢，重点突出。力量用在刀刃上，避
免平均使用力量。
理。在复习过程中，作一些整理工作，将分散在各册书中的知识进行归
纳、整理，使之科学化、系统化、条理化。例如在词汇方面可以以最常用的
十几个动词be，take，make，look，go，have，