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算筹是中国传统的运算工具，有其运算方面的优势和特点。但筹算在做多位数加减法和乘除法时占地位多，布数慢，不利于快速计算，难以适应社会生产和商业活动的需要。因此，随着古代算术的发展，在传统筹算的基础上，出现了算盘，这种新的计算工具是以珠算代替传统的算筹。古算书《数术记遗》是最早著录“珠算”器的文献，这种‘珠算’器是现代算盘的前身，两者的建构基本类似。可惜原文和注解过简，关于书中的算盘是否有柱贯珠这一问题，学术界尚有分歧。参见华印椿编著《中国珠算史稿》，中国财政经济出版社，1987，第24～25页。
《数术记遗》所记古算十四法；早在19世纪30年代就引起日本学者三上义夫先生的兴趣，其著《中国数学的特色》〔日〕三上义夫：《中国数学的特色》，《万有文库》第一集中译本，商务印书馆，1929。用相当的篇幅论述了《数术记遗》中的种种算法和算器。继此之后，陆续有一些学者对《数术记遗》展开了研究。关于《数术记遗》所蕴涵的现代意义的科学思想，也有一些学者做了分析。例如，关于两仪算和三才算，李约瑟的《中国科学技术史》指出：“它使用两种不同颜色的珠，黄珠在y轴的左边，青珠在y轴的右边，立数的方法与‘太一’算相同。这种方法与近代的曲线图形表示法有惊人的类似之处，因为在近代的曲线图形表示中，不同类型的点与轴上的不同标度相联系。还有一种方法使用三种不同颜色的珠，只有三个水平位置，用这种方法同样可以建立任何一个需要的数。这就是‘三才’算法。总之，这些系统即使晚至公元六世纪才出现，它们仍表明当时人们对座标关系已有一定的认识。”李约瑟： 《中国科学技术史》第3卷《数学》，
科学出版社，1978，第169～170页。李约瑟最为推崇的是太一算，曾给予很高的评价：
正文提及某物“去来九道“（或许是槽？）。注释说“刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠”（这种算法的名称就是由此产生的）；因此，把这些珠上下移动，就可以定出需要保留的任何一个数。这个方法清楚地表明，在珠算系统中隐藏着座标几何学的方法，以10的幂次标定x轴，而以小于10的各数标定y轴。如果当时人们（即使是在思想上）能够相信这些珠沿着连续曲线移动，那么，用座标图示法的笛卡尔学派早就应该出现了。李约瑟：《中国科学技术史》第3卷《数学》，科学出版社，1978，第169页。
中国传统数学以计算而见长，与西方数学公理化的演绎传统有显著的区别。当代著名数学家吴文俊先生将其概括成中国数学的机械化道路，即要求运算或证明过程中，每前进一步之后，都有一个确定的、必须选择的下一步，这样沿着一条有规律的刻板道路一直达到结论。关于中国数学思想的机械化特征，郭金彬先生的《中国传统科学思想史论》做了深入的专题论述郭金彬：《中国传统科学思想史论》，知识出版社，1993。
，可参阅，兹不复述。因此，有学者从程序化意义来研究和解读《数术记遗》的古算十四法，认为“《数术记遗》的古算十四法部分，包含有十分丰富的程序设计思想，并行原则、搜索、选取原则等程序设计思想，在其中均有体现。”陈开先：《〈数术记遗〉之古算十四法的程序意义解读》，《自然辩证法研究》2003年第4期。《数术记遗》的古算十四法充分显示了吴文俊先生所概括的中国传统数学的数学机械化思想特征。这些有启发意义的见解，值得我们重视，同时也说明了《数术记遗》蕴涵了富有特色的数学科学思想，需要我们细心加以体味。
第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想神秘的“洞渊九容之说”（1）
当代著名数学家吴文俊教授在其著《近年来中国数学史的研究》一文中指出：“宋元时期（十至十四世纪）最重要的数学成就就是天元概念的引进。”吴文俊主编《中国数学史论文集》（三），山东教育出版社，1987，第8页。李约瑟博士也认为充满道家神秘色彩的“元”概念对中国数学思想的发展有特殊意义：
关键在于，中国远在《孙子算经》（三世纪末）出现以前就已有了一个基本上是十进制的位值体系。因此，道家神秘主义的“元”，对于发明Sunya（即零）的记号所作的贡献，可能并不下于印度哲学的“空”。李约瑟：《中国科学技术史》第3卷《数学》，科学出版社，1975，第25～26页。
中国代数学十分发达，天元术即是其中重要的成就。天元术以“立天元一”的“元”字代未知数。或以太极的“太”，记绝对项，写在系数之旁，用以表明多次方程各项的地位。换句话说，天元术即现代代数学中一元高次方程的立法。“天元”代表未知数的符号x；所谓“立天元一为某某”用现代数学的语言即为“设x为某数”。“天元开方式”即今天的一元高次方程式。只不过表达形式不同。
天元术是如何起源的？这一问题很早就引起中外数学史家的兴趣，但由于目前所能发现的史料甚少，至今没有定论，因此“天元术的起源”被数学史家李迪先生列为“中国数学史上未解决的问题”。李迪： 《中国数学史中的未解决问题》，吴文俊主编《中国数学史论文集》
（三），山东教育出版社，1987，第17页。
目前能看到的有关天元术源流的早期文献，乃元人祖颐为其友朱世杰《四元玉鉴》所撰的“松庭先生四元玉鉴后序”：
平阳蒋周撰《益古》，博陆李文一撰《照胆》，鹿泉石信道撰《钤经》，平水刘汝锴撰《如积释锁》，绛人元裕细草之，后人始知有天元也。祖颐：《松庭先生四元玉鉴后序》，《知不足斋丛书》本，任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》数学卷一，河南教育出版社，1993，第1206页。
平阳、平水、绛俱在山西境内，博陆、鹿泉则在河北境内。数学史家梅荣照先生据此认定：“天元术产生于山西、河北一带；它是经过一系列数学工作者的工作才完成的。”
梅荣照：《李冶及其数学著作》，《宋元数学史论文集》，科学出版社，1966，第123页。
梅荣照先生认为天元术产生于13世纪
李迪主张“天元术估计产生于十二世纪”，《中国数学史论文集》（三），山东教育出版社，1987，第17页。
第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想神秘的“洞渊九容之说”（2）
金末元初的山西、河北一带，绝不是偶然的，这里面还有它的客观的社会因素：“女真统治时期，汉族的士大夫阶级受到歧视，政治上没有出路，尤其在金末元初，阶级斗争十分剧烈，战事到处发生。因此，一些学者放弃了功名，著书讲学。……在女真统治时期，山西西南部受到战争的破坏较少，经济比其他地区优越，尤其是造纸业和印刷术更为发达。平阳、平水等地是当时北方的刻板中心，平阳的白麻纸，平水的雕版技术都很出名。这些都是科学文化发展的物质条件。”
梅荣照：《李冶及其数学著作》，《宋元数学史论文集》，科学出版社，1966，第123页。
梅荣照先生的分析很有启发意义。但笔者以为，天元术产生的直接渊源是道教“天元”思想。理由如下：
首先，天元术渊源于金元时期的山西、河北、山东一带，这一地域正是金元道教发展的活跃地区。金元是道教的宗派纷起和继续发展的一个重要时期。金太宗完颜晟于天会三年（公元1125年）灭辽，天会五年灭北宋。宋高宗赵构南渡，南宋偏安临安，形成与金、元南北对峙的局面。北方地区由于战乱不断，百姓生活十分动荡和困苦，身受异族统治之苦的广大汉族士人精神上无以寄托，这为宗教的发展提供有力的环境。在这种社会背景下，先后于河北、山东一带由汉族士人所创立的新道派，如金熙宗天眷元年（公元1138年）卫州人萧抱真开创的太一教，金熙宗皇统二年（公元1142年）沧州刘得仁创立的大道教，以及王重阳、丘处机等人创立的全真道，相继产生，受到北方地区汉族士人的热烈欢迎和拥护，隐逸清洁之士翕然从之，发展十分迅速。已故著名史学家陈垣先生早在上个